うなぎといくらが食べたい

やるきになったら書く

フェルマーの最終定理の反例に近い値

以前ネットで、反例に近い値を紹介しているものを見ました。

science-2ch.net

これをみた後、考えることは皆大体同じでしょう。 「他にはあるのか?」、「無限にあるのか?」、「このような数を生成する方法は?」などだと思います。 実はこの問題ずっと考えていました。が、どうやら私のオムツの性能が足りないようで笑。 できるだけ、PCには頼りたくなかったんですけど、無理なのでコンピューターにほかの数を探してもらいました笑。 幾つか載せておきます。

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があります。ほかにもまだまだあるみたいです。 {\langle a,b,c \rangle} の組として表すとします。すると、{\langle 1875, 15250, 32875 \rangle}{\langle 3750, 5700, 13350 \rangle} 等があります。興味深いことに、これらは、全て合成数です。素数もあるんでしょうか?(他にもいくつも見つけてますが、すべて合成数でした)
探すと結構あるので、ぱっと見無限にありそうです。 こういうのを、最初に見つける人ってすごいなあと思います。
ちなみに、具体的には
{
\displaystyle
\{ x \}_n := \left\lfloor  \frac{x}{10^n}  \right\rfloor \\
a^3 = 10^{n+1}a_1 + 10^n a_2 + a_3, \\
b^3 = 10^{n+1}b_1 + 10^n b_2 + b_3, \\
c ^3= 10^{n+2}(a_1 + b_1) + 10^n (a_2 + b_2)+ a_3 + b_3,
}
とすると
{
\displaystyle
a^3 + b^3 = c^3 - 9 \cdot 10^{n+1} \left( a_1 + b_1   \right) = c^3 - 9 \cdot 10^{n+1} \left(  \{ a \}_{n+1} + \{ b \}_{n+1}   \right)
}
となるので、

{
\displaystyle
a^3 + b^3 = c^3 - 9 \cdot 10^{n+1} \left(  \{ a \}_{n+1} + \{ b \}_{n+1}   \right)
}

これを満たす数の組を見つければ良いわけです。 で、さらに繰り上がりも考慮しなければいけませんから、 {
\displaystyle
\{ c^3 \}_{n} - 100 \{ c^3 \}_{n+2} = ( \{ a^3 \}_{n} - 10 \{ a^3 \}_{n+1}  ) +  ( \{ b^3 \}_{n} - 10 \{ b^3 \}_{n+1}  )
}
も満たさなければいけません。式で書くとひどく分かりづらいですが、 左辺は、{c^3}{a_2 + b_2} の部分と等しくて、右辺の第一項、第二項がそれぞれ{a_2, b_2}に対応しています。
また、{a_2 + b_2 \geq 10} のものを選ぶ必要もあるでしょう。

最初、CでGMP使う予定だったんですけど、うまくいかなくて、結局Haskellで書きました笑。 (多倍長使うほどの数の大きさじゃないって? こんなにあるとは思ってなかったんだよ笑!)

そういえば、私の好きな数学者は Ramanujan です。 この間、たまたま彼のWikipediaみたら、タクシー数1729に関する新しいことが載っていました。

ラマヌジャンはその中で次数3である場合のフェルマーの最終定理の「反例に近い値」を無限個生成する式を与えていた

とあります。私は楕円曲線関係のことはよく知らないのでその他はよく分からないのですが、こういう式をずっと前に見つけていたって、やっぱり天才は違いますね。

一応、汚いHaskellコードを置いときます :